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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de negatividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de $f$. Hacer un gráfico de
d) $f(x)=\frac{4}{3 x-1}-3$
d) $f(x)=\frac{4}{3 x-1}-3$
Respuesta
$f(x) = \frac{4}{3x-1}-3$
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Dominio:
$3x-1\neq0$
$3x\neq1$
$x\neq\frac{1}{3}$
• $Dom\ f: \mathbb{R} -\left\{\frac{1}{3}\right\}$
Asíntotas Horizontales:
$\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{4}{3x-1}-3 = -3$
• Hay A.H. en $y=-3$
Imagen:
$Im\ f: \mathbb{R} -\{AH\}$
• $Im\ f: \mathbb{R}-\left\{-3\right\}$
Asíntotas Verticales:
$\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}} \frac{4}{3x-1}-3 = \infty$
• Hay A.V. en $x=\frac{1}{3}$
Conjunto de ceros:
$f(x)=0$
$\frac{4}{3x-1}-3 = 0$
$4=3(3x-1)$
$4=9x-3$
$\frac{4+3}{9}=x$
$x = \frac{7}{9}$
• $C^0 = {\frac{7}{9}}$
Conjuntos de positividad y negatividad:
Es necesario hacer el análisis mediante Bolzano, una vez conocidos el $Dom f$ y el $C^0$.
• C$^{+}$= $\left(\frac{1}{3} ; \frac{7}{9}\right)$
• C$^{-}$= $\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{9} ; +\infty\right)$
TIP: Para graficar primero marcá las asíntotas y el conjunto de ceros. Luego evaluá los límites laterales y marcá a donde tiende la función. ¡Y listo! Si tenés dudas sobre ésto mirá el video de funciones homográficas.
• Límites Laterales
$\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}^{-}} \frac{4}{3x-1}-3 = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}^{+}} \frac{4}{3x-1}-3 = +\infty$
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